Nejistota výsledku zkoušky

3.8.2 Nejistota výsledku zkoušky

Dr. Ing. Rostislav Suchánek a kolektiv autorů

Předchozí část

Definice nejistoty dle ČSN ISO 3534-1 „Statistika – slovník a značky. část 1: Pravděpodobnost a obecné statistické termíny“:

Nejistota

Nejistota: odhad přiřazený k výsledku a charakterizující interval hodnot, o němž se tvrdí, že uvnitř něho leží správná hodnota.

Definice nejistoty dle ČSN 01 0115 „Mezinárodní slovník základních a všeobecných pojmů v metrologii“:

Nejistota měření

Nejistota měření: parametr přidružený k výsledku měření, který charakterizuje rozptyl hodnot, které by mohly být důvodně přisuzovány k měřené veličině.

Odhad nejistoty výsledku zkoušky je charakterizován následujícími pojmy:

• Standardní nejistota výsledku měření/standardní nejistota měřené veličiny: parametr přidružený k výsledku měření, který charakterizuje rozptyl hodnot, které by mohly být důvodně přisuzovány k měřené veličině – odpovídá definici nejistoty například dle ČSN 01 0115.

• Standardní kombinovaná nejistota výsledku zkoušky: odhad je tvořen kombinací ze standardních nejistot měřených proměnných veličin.

• Rozšířená (celková) nejistota výsledku zkoušky: odhaduje se jako násobek standardní kombinované nejistoty. Interval, o kterém se předpokládá, že zahrnuje značný počet distribuce hodnot, které by mohly být důvodně přisuzovány výsledku zkoušky.

Odhad rozšířené nejistoty výsledku zkoušky lze provést dle schématu na obrázku 1.

Odhad nejistoty výsledku zkoušky

Matematická formule pro odhad nejistoty výsledku zkoušky je určena vztahem, který je znám jako kovariační zákon pro šíření nejistot. Kovariační zákon pro šíření nejistot definuje obecný vztah mezi nejistotou výsledku zkoušky y a nejistotami jednotlivých měřených proměnných veličin x_i ovlivňujících výsledek zkoušky. Kovariační zákon pro šíření nejistot platí v obecných případech, tedy v případech, kdy proměnné x_i jsou vzájemně závislé i nezávislé:

kde s(x, ij) je kovariace mezi veličinami x_i a x_j .

Příspěvky jednotlivých veličin k nejistotě výsledku zkoušky jsou dány druhou mocninou součinu parciální derivace funkce vůči veličině x_i a příslušné standardní nejistoty u(x_i). Hodnota u(x_i) v prvním členu je standardní nejistota veličiny x_i popisující nejistotu stanovení měřené proměnné veličiny x_i . Parciální derivace v prvním členu se také někdy nazývá citlivostí (koeficient citlivosti). Veličina u_c(y) se pak nazývá standardní kombinovaná nejistota vzniklá kombinací z dílčích standardních nejistot a citlivostních koeficientů. Druhý člen v rovnici popisuje vzájemnou kovariaci vstupních veličin x_i a x_j .

kde s(x, ij) je výběrová kovariace mezi x_i a x_j definovaná jako součet součinů odchylek x_i a x_j od svých průměrů dělený o jedničku zmenšeným počtem dvojic (n je počet pozorovaných dvojic).

s(x, ij) = u(x_i )·u(x_j )·r_ij ,

kde r_ij je výběrový korelační koeficient definovaný jako poměr výběrové kovariace dvou znaků a součinu jejich výběrových směrodatných odchylek:

kde	s(x, ij)	je výběrová kovariace znaků Xi a Xj
	u(xi) a u(xj)	jsou výběrové směrodatné odchylky Xi a Xj .

Hodnota r_ij leží mezi čísly –1 a +1. Rovná-li se výběrový korelační koeficient r_ij některé z těchto hraničních mezí, znamená to, že mezi proměnnými X_i a X_j v řadě párových pozorování je přesná lineární závislost. Rovná-li se výběrový korelační koeficient r_ij nule, může být mezi X_i a X_j vzájemná nezávislost.

Při vzájemné nezávislosti vstupních veličin lze kovariační zákon pro šíření nejistot (3) psát ve tvaru, který je nazýván jako tzv. Gaussův zákon pro šíření nejistot:

kde y = ƒ(x ₁, x ₂, ...x _n) je funkcí n parametrů x_i , příslušné parciální derivace jsou koeficienty citlivosti a u(x_i) jsou standardní nejistoty. Příspěvek každé proměnné je dán součinem druhé mocniny příslušné nejistoty vyjádřené ve formě směrodatné odchylky a druhé mocniny odpovídající parciální derivace. Hodnota u_c(y) představuje standardní kombinovanou nejistotu výsledné veličiny/výsledku zkoušky y na určité hladině spolehlivosti.

Pro vyjadřování standardní kombinované nejistoty výsledku zkoušky se nedoporučuje používat symbol ±, tento symbol se používá pro vyjádření s vyšší úrovní spolehlivosti.

Pro tzv. „zvláštní tvary“ matematické funkce pro vyjádření výsledku zkoušky jsou známy základní pravidla pro slučování nejistot, která byla odvozena pro „zvláštní tvary“ matematické funkce z Gaussova zákona pro šíření nejistot (byla uvažována vzájemná nezávislost měřených proměnných veličin). Pravidla se týkají těchto „zvláštních tvarů“ matematické funkce pro vyjádření výsledku zkoušky:

• Vícenásobná funkční závislost aditivního charakteru – funkční závislost obsahuje operace sčítaní a/nebo odečítání:

  y = ƒ(p; x ₁ + x ₂ – x ₃ + .... + x_n )

• Vícenásobná funkční závislost multiplikativního charakteru – funkční závislost obsahuje operace násobení a/nebo dělení:

  y = ƒ(p; x ₁ / x ₂·x ₃ / .... / x_n )

Pravidlo 1: pro funkční závislost aditivního charakteru lze standardní kombinovanou nejistotu u_c (y) odhadovat dle vztahu:

kde u(x_i) jsou standardní nejistoty měřených proměnných veličin. Pro odečítání i sčítání se používá analogický vztah.

Pravidlo 2: pro funkční závislost multiplikativního charakteru lze standardní kombinovanou nejistotu u_c(y) odhadovat dle vztahu:

kde u(x_i)/x_i jsou relativní standardní nejistoty měřených proměnných veličin. Pro násobení i dělení se používá analogický vztah.

Odhad standardních nejistot

Podle definice je nejistota měření, tedy nejistota měřené proměnné …